Zadání XXXIII. ročníku

Mějme trojúhelník \(ABC\) s kružnicí opsanou \(k\) a jejím středem \(S\). Mějme bod \(C'\), který je středově souměrný s bodem \(C\) podle středu úsečky \(AB\). Dále mějme kružnici \(k'\) se středem \(S'\), která je kružnicí opsanou trojúhelníku \(ABC'\). Dokažte, že \(S\) leží na \(k'\), právě tehdy když osa úhlu \(ACB\) prochází \(S'\).

Myš stojí v domečku na ose vnitřního úhlu \(MYS\) o velikosti \(67^\circ\) ve vzdálenosti \(10\) od vrcholu \(Y\). Úhel je ohraničen polopřímkami, které jsou ze sýra. Myš chce ukousnout z každé polopřímky jedno sousto a vrátit se domů. Jakou nejkratší vzdálenost musí ujít?

Mějme trojúhelník \(ABC\) a tři reálná čísla \(k_1, k_2,k_3\). Nejprve uděláme stejnolehlost se středem v \(A\) a koeficientem \(k_1\), poté stejnolehlost se středem v \(B\) a koeficientem \(k_2\) a nakonec stejnolehlost se středem v \(C\) a koeficientem \(k_3\). Najděte \(k_1, k_2\) a \(k_3\) taková, aby složení těchto tří stejnolehlostí bylo opět stejnolehlost se středem v těžišti trojúhelníku \(ABC\) a koeficientem \(4\).

Nechť \(f\) je zobrazení, které libovolné omezené a alespoň dvouprvkové podmnožině roviny \(M\) přiřadí přímku \(ax+by+c=0\), kde \(a\) je největší rozdíl \(x\)-ových souřadnic bodů z \(A\), \(b\) je největší rozdíl \(y\)-ových souřadnic bodů z \(A\) a \(c\) je největší vzdálenost bodů dané množiny (největší ve smyslu suprema). Definujme zobrazení \(g\), jako \(g(A)=f(A)(A)\), tedy zobrazení přiřadí obraz osové souměrnosti množiny \(A\) podle osy \(f(A)\). Rozhodněte a dokažte, zda je zobrazení \(g\) injektivní.

Trojice čísel \(p\), \(q\), \(r\) splňuje, že \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r} = 1\) a \(\frac{1}{pq}+\frac{1}{qr}+\frac{1}{rp} = \frac{1}{pq+pr+qr}\). Určete hodnotu, které musí být vždy alespoň jedno z čísel rovno.

Za řešení Brkosu dostal Petr posloupnost čísel \(a_1,\dots,a_{100}\), která jsou permutací čísel \(1,\dots,100\). Pro každý index \(i\in\{1,\dots,100\}\) si zapsal hodnotu \(a_i\cdot|a_i-a_{i+1}|\), kde bereme \(a_{101}=a_1\). Jakou největší hodnotu může mít nejmenší ze zapsaných čísel?

Na konferenci dojelo 2026 účastníků. Každý zná sebe a kromě toho 641 dalších účastníků. Ředitel konference by chtěl vybrat 20 mluvčích tak, aby každý znal alespoň jednoho z mluvčích. Dokažte, že takových 20 mluvčích vybrat může.

Nechť \(n\) je druhá mocnina, která není ve tvaru \(10^k\) ani \(9*10^k\). Ukažte, že \(n\) obsahuje nenulovou sudou cifru.